假設我們有 n 顆看起來一樣的球要進行分群，那麼球上是否有編號將會影響到分群的結果。舉例來說，假設我們有 3 顆沒有編號的球，那麼分群的方法共有三種，分別是：(1)每顆球獨自一群；(2)其中一群有兩顆球，另一群則是一顆球；(3)三顆球都在同一群。如果這 3 顆球分別編號為 1、2、3，並且以{}表示分在同一群，那麼分群的方法將會有以下五種：(1) {1}, {2}, {3}；(2) {1}, {2, 3}；(3) {2}, {1, 3}；(4) {3}, {1, 2}；(5) {1, 2, 3}。請注意：{1}, {2, 3}、{1}, {3,2}、{2, 3}, {1}、{3, 2}, {1}這四種表示法都視為是同一種分群，因為這四種其實都代表著 1 號球自己一群，2, 3 號球在另一群。
　　有的時候我們會想要在分群的時候加上一些條件限制：例如已經知道部分的分群狀況了，想要知道還有幾種分群的方法滿足這樣的分群狀況。如果是沒有編號的球，我們已知的訊息可能是：其中的 $k$ 群，它們的球數分別是$a_1, a_2, \cdots, a_k$。如果是有編號的球，我們已知的訊息可能是：其中的 $k$ 顆球$b_1,b_2, \cdots, b_k$，任兩顆球都分屬於不同的群。
給定 $n$ 顆看起來一樣的球、它們是否有編號、以及上述條件。請你寫一個程式來判斷分群的方法到底有幾種。