於第一世紀時，猶太人受制於羅馬帝國，一批愛國志士反叛羅馬帝國，最後僅剩下41人受困於山洞。這41人不想受辱於羅馬帝國，又不想自殺，因此決定圍成一個圓圈，由1號開始將2號殺掉；3號將4號殺掉，依此類推，即由前一個殺掉下一個，欲將全團41人全部殉戰而亡。然而，最後必定會剩下一人。試問哪一號最後得以苟且偷生？如果有n個人圍成一圓圈，誰得以殘留餘命呢？

　　令 $f(n)$ 為最後留下性命的號數，則 $f(1)=1$。設有 $2n$ 個人，則過了第一圈後所有偶數號的都要被去除，剩下的人為成一圈如下：

$1, 3, 5, \cdots, 2i-1, \cdots, 2n-3, 2n-1$ (接1)

　　將其重新編號，則編號為 $1$ 至 $n$ 為成一圈與上述所剩下的人其號碼的對應方式為 $i \rightarrow 2i-1$。

$1, 2, 3, \cdots, i, \cdots, n-1, n$ (接1)